Ejercicio de Álgebra — UNI

Idea clave: una matriz cuadrada donde todas las entradas sobre la diagonal principal (e incluyéndola) son cero se llama estrictamente triangular inferior, y este tipo de matrices son nilpotentes: si la matriz es de orden $n\times n$, alguna potencia $A^k$ con $k\leq n$ se vuelve la matriz nula, y a partir de ahí todas las potencias siguientes también lo son. Aquí $n=3$, así que conviene calcular solo hasta $A^3$ en vez de multiplicar 200 veces.

1. Construimos A según la regla dada: la entrada vale 1 solo cuando la fila es mayor que la columna (por debajo de la diagonal), y 0 en el resto: $A=\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{bmatrix}$

2. Calculamos $A^2=A\cdot A$. Multiplicando fila por columna se obtiene: $A^2=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}$

3. Calculamos $A^3=A^2\cdot A$: $A^3=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}=0_{3\times3}$

4. Como $A^3$ ya es la matriz nula, cualquier potencia mayor también lo será, pues $A^{200}=A^3\cdot A^{197}=0_{3\times3}\cdot A^{197}=0_{3\times3}$.

Respuesta: A) $0_{3\times3}$ (matriz nula de orden $3\times3$)