Ejercicio de Números complejos — UNMSM

Luis es un caminante que, en cierto instante, recibe la informacion de que le falta recorrer $\|z\|$ km para llegar a su destino. Calcule dicha distancia, en kilometros, sabiendo que $z+\bar{z}=8$ y que $\text{Re}(\bar{z}) = 2\,\text{Im}(z)$ , donde $z$ es un numero complejo ( $z\in\mathbb{C}$ ).

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Sea $z=a+bi$ , con $a,b\in\mathbb{R}$ . Entonces su conjugado es $\bar{z}=a-bi$ .
Del primer dato: $z+\bar{z} = (a+bi)+(a-bi) = 2a = 8 \quad\Rightarrow\quad a=4$
Del segundo dato: $\text{Re}(\bar{z})=a$ , e $\text{Im}(z)=b$ . La condicion $\text{Re}(\bar{z})=2\,\text{Im}(z)$ se traduce en: $a = 2b \quad\Rightarrow\quad 4=2b \quad\Rightarrow\quad b=2$
Entonces $z = 4+2i$ .
El modulo de $z$ es: $\|z\| = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Por lo tanto, la distancia que le falta recorrer a Luis es $2\sqrt{5}$ km.

Ejercicio de Álgebra — UNMSM