Ejercicio de Polígonos regulares convexos

Una constructora quiere reforzar las llantas de sus carretillas para que sean más resistentes. Una forma de hacerlo consiste en colocar varillas del mismo tamaño, utilizando como referencia algunas cuerdas de la circunferencia que rodea el aro de la llanta, formando un polígono regular inscrito en dicha circunferencia. En la figura, " $\theta$ " representa el ángulo central del sector circular AOB (formado por dos radios consecutivos y una cuerda), y " $\alpha$ " representa el ángulo interior que forman dos varillas consecutivas en un vértice del polígono (por ejemplo, en el punto B).

Según esta información, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Ver solución paso a paso

Pista: relaciona el ángulo central con la cantidad de lados mediante $\theta=\dfrac{360°}{n}$ , y el ángulo interior de un polígono regular mediante $\alpha=\dfrac{(n-2)\times180°}{n}$ .

1. (Si la varilla —la cuerda— tiene la misma longitud que el radio, el triángulo formado por dos radios y esa cuerda es equilátero, por lo que el ángulo central mide 60°. Esto da $n=360°/60°=6$ lados, es decir, un hexágono, no un pentágono; la alternativa A es falsa.)

2. (Si el ángulo central $\theta=30°$ , entonces $n=360°/30°=12$ lados, es decir, un dodecágono, no un hexágono; la alternativa B es falsa.)

3. (El ángulo $\alpha$ corresponde al ángulo interior del polígono formado por las varillas. Aplicando la fórmula del ángulo interior con $\alpha=135°$ : $135=\dfrac{(n-2)\times180}{n}$ ; despejando se obtiene $n=8$ , es decir, un octógono; la alternativa C es verdadera.)

4. (Si $\alpha=72°$ , al aplicar la misma fórmula se obtiene un valor de " $n$ " que no corresponde a un número entero de lados, por lo que no se forma un pentágono regular; la alternativa D es falsa.)

Ejercicio de Geometría — BECA18