Ejercicio de Geometría — UNI

Idea clave: el arco pedido MEP se puede partir en dos arcos consecutivos, PE y EM, y conviene atacarlos por separado: el primero con un triángulo equilátero escondido, y el segundo reconociendo el lado de un decágono regular.

1. Hallando el arco PE. Como $AP=AO=R$ (ambos son radios de $C_1$) y también $OP=R$ (radio de la circunferencia original), el triángulo AOP tiene sus tres lados iguales a R: es equilátero, y por tanto $m\angle AOP=60^\circ$.

2. El pentágono regular divide la circunferencia en 5 arcos iguales, cada uno de $\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ$, así que el arco AE mide $72^\circ$ y el ángulo central $m\angle AOE=72^\circ$.

3. Como el ángulo $\angle AOP=60^\circ$ está "dentro" del ángulo $\angle AOE=72^\circ$ (P está sobre el arco AE), el arco restante es $m\widehat{PE}=72^\circ-60^\circ=12^\circ$.

4. Hallando el arco EM. En el triángulo rectángulo AQE (recto en Q, por ser EQ tangente a $C_1$ y por tanto perpendicular al radio AQ en el punto de tangencia): el cateto $AQ=R$ (radio de $C_1$), y la hipotenusa $AE$ es el lado del pentágono regular, $L_5=\dfrac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt5}$.

5. Por Pitágoras, el otro cateto $EQ=\sqrt{AE^2-AQ^2}=\sqrt{\left(\dfrac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt5}\right)^2-R^2}$. Al desarrollar esta expresión se llega a $EQ=\dfrac{R}{2}(\sqrt5-1)$.

6. Esta expresión es, por definición, exactamente el lado del decágono regular inscrito en una circunferencia de radio R: $L_{10}=\dfrac{R}{2}(\sqrt5-1)$. Como $EM=EQ$ (mismo radio de $C_2$), concluimos que EM es también un lado de decágono, y su arco correspondiente mide $\dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ$.

7. Finalmente, sumamos los dos arcos consecutivos: $m\widehat{MEP}=m\widehat{PE}+m\widehat{EM}=12^\circ+36^\circ=48^\circ$.

Respuesta: E) 48