Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: cada diagonal de una cara del paralelepípedo cumple el teorema de Pitágoras con las dos aristas que la forman; plantea un sistema de tres ecuaciones con las tres aristas como incógnitas.)

1. Sean $a$, $b$, $c$ las tres aristas del paralelepípedo. Cada diagonal de cara relaciona dos de ellas mediante el teorema de Pitágoras: $a^2+b^2=58$ $b^2+c^2=74$ $a^2+c^2=34$

2. Se suman las tres ecuaciones: $2(a^2+b^2+c^2) = 58+74+34 = 166$, de donde $a^2+b^2+c^2=83$.

3. Se resta cada ecuación individual de este total para hallar cada incógnita al cuadrado: por ejemplo, $c^2 = 83-58=25$, $a^2=83-74=9$, $b^2=83-34=49$.

4. Se extraen las raíces: $a=3$, $b=7$, $c=5$.

5. Se calcula el volumen del paralelepípedo rectangular como el producto de sus tres aristas: $V = a\cdot b\cdot c = 3\times7\times5 = 105$

Respuesta: 105