Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: el trapecio circular es la diferencia entre dos sectores circulares concéntricos con el mismo ángulo central; expresa el área de cada sector en función de la longitud de su arco y del ángulo central, usando la relación $L=\theta \cdot \text{radio}$.)

1. Se llama $\theta$ al ángulo central (en radianes) del sector circular. El área del trapecio circular es la diferencia entre el área del sector mayor (arco $x$) y el área del sector menor (arco $y$): $S = S_{\text{mayor}}-S_{\text{menor}}$.

2. Para un sector circular de ángulo central $\theta$ y arco de longitud $L$, el radio correspondiente es $\text{radio}=\dfrac{L}{\theta}$, y el área del sector es $\dfrac{L\cdot\text{radio}}{2} = \dfrac{L^2}{2\theta}$.

3. Aplicando esto a ambos sectores: $S = \dfrac{x^2}{2\theta}-\dfrac{y^2}{2\theta} = \dfrac{x^2-y^2}{2\theta}$.

4. Se iguala esta expresión con el dato del área: $\frac{x^2-y^2}{2\theta} = \frac{x^2-y^2}{2}$

5. Como $x\neq y$, se puede simplificar el factor $x^2-y^2$ de ambos lados, obteniendo directamente $\theta = 1$.

Respuesta: 1