Ejercicio de Geometría — UNI

Pista: las áreas determinan radios $3$ y $4$. En la sección auxiliar de la configuración, el diedro de $135^\circ$ genera un ángulo de $45^\circ$ y permite expresar dos catetos en función de esos radios.

1. De las áreas:

$$\pi r_1^2=9\pi\Rightarrow r_1=3,$$ $$\pi r_2^2=16\pi\Rightarrow r_2=4.$$

2. En la sección plana de la configuración, el diámetro del círculo de radio $4$ aporta una longitud $8$. El ángulo complementario del diedro es $45^\circ$, por lo que la proyección asociada al radio $3$ es $3\sqrt2$.

La construcción conduce a un triángulo rectángulo $APC$ con

$$AP=8+3\sqrt2, \qquad PC=3\sqrt2.$$

3. Los puntos $A$ y $C$ pertenecen a la esfera y subtienen un ángulo central recto, de modo que

$$AC=R\sqrt2.$$

Aplicamos Pitágoras:

$$(R\sqrt2)^2=(8+3\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2.$$

4. Desarrollando:

$$2R^2=100+48\sqrt2.$$

Así,

$$R^2=50+24\sqrt2$$

y, como $R>0$,

$$R=\sqrt{50+24\sqrt2}.$$

Respuesta: C