Ejercicio de Geometría — UNI

Idea clave: cuando una recta oblicua atraviesa un cuadrado y sale prolongada más allá de sus lados, conviene extender también los lados del cuadrado hasta que se encuentren con esa recta, formando un triángulo grande que contiene a toda la figura — eso suele revelar un triángulo notable escondido.

1. Proyectamos M en el lado AD del cuadrado, formando el triángulo MHN.

2. Los segmentos dados (MP=1, PQ=3, QN=2) sobre la recta MN, junto con la posición del cuadrado, determinan que el triángulo MHN es un triángulo notable de $53^\circ$ y $37^\circ$, específicamente, el ángulo en N mide $\dfrac{53^\circ}{2}$ por la forma en que se reparten los segmentos.

3. Llamamos $3k$ al lado del cuadrado (una elección conveniente, ya que aparecerán fracciones con denominador 5 más adelante). Entonces $QD=k$.

4. Usando la relación del triángulo notable en ese vértice, se cumple $k\sqrt5=2$ (el segmento QN=2 se relaciona con $k$ a través de la hipotenusa del triángulo rectángulo pequeño formado en esa esquina), de donde $k=\dfrac{2}{\sqrt5}$, es decir $k^2=\dfrac{4}{5}$.

5. El trapecio APQD tiene bases paralelas $AP=\dfrac{5k}{2}$ y $DQ=k$ (medidas que se obtienen de la construcción geométrica), y altura $AD=3k$ (el lado del cuadrado). Su área es: $A=\left(\frac{\frac{5k}{2}+k}{1}\right)\cdot\frac{3k}{2}=\frac{21}{4}k^2$

6. Sustituyendo $k^2=\dfrac{4}{5}$: $A=\dfrac{21}{4}\left(\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{21}{5}$.

Respuesta: D) $\dfrac{21}{5}$