Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: usa la propiedad de que el baricentro divide a cada mediana en razón 2:1 desde el vértice; en el triángulo rectángulo formado por la mediana relativa al cateto y la mitad de ese cateto, aplica relaciones métricas, y luego usa semejanza de triángulos con el triángulo original.)

1. Sea $x$ el cateto que se pide. Se llama $M$ al punto medio del cateto $BC$ (relativo al cual se traza la mediana $AM$) y $N$ al punto medio de la hipotenusa $AC$ (relativo a la cual se traza la mediana $BN$). Ambas medianas se cortan perpendicularmente en el baricentro $G$.

2. En el triángulo rectángulo $ABM$ (recto en $B$), con $BM=a$ (la mitad del cateto $BC$, que mide $2a$) y $AB=x$, la mediana $AM$ mide, por el teorema de Pitágoras aplicado junto con las proporciones del baricentro: $BM^2 = (a)(3a) \;\Rightarrow\; BM = a\sqrt3$ (esta relación surge de aplicar la relación métrica de la altura relativa a la hipotenusa en el triángulo rectángulo $BGM$, donde $BG=2a$ y $GM=a$ son los segmentos que deja el baricentro sobre la mediana $AM$, ya que $BG \perp GM$).

3. Se establece la semejanza de triángulos $BGM \sim CBA$ (ambos rectángulos y comparten un ángulo agudo, por la perpendicularidad de las medianas y el paralelismo de los catetos correspondientes): $\frac{a}{x} = \frac{a\sqrt3}{5\sqrt3}$

4. Se despeja $x$: $x = \frac{a \cdot 5\sqrt3}{a\sqrt3} = 5$

Respuesta: 5