Ejercicio de Geometría analítica

De un tronco de madera, se ha construido un cilindro circular recto compacto de 5 cm de radio y $40\pi$ cm de altura. Los puntos M y N del cilindro están en la misma línea vertical. Una partícula se encuentra en el punto N y, para llegar al punto M, dio tres vueltas por la superficie lateral del cilindro, tal como se muestra en la figura. Determine la longitud mínima del recorrido de la partícula.

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Al desenrollar la superficie lateral del cilindro correspondiente a una sola vuelta, se obtiene un rectángulo cuya altura es $\frac{40\pi}{3}$ (la altura total entre 3 vueltas) y cuya base es el perímetro de la circunferencia, $2\pi(5)=10\pi$ . El camino más corto para una vuelta es la diagonal de ese rectángulo: $d = \sqrt{\left(\frac{40\pi}{3}\right)^2+(10\pi)^2} = \frac{50\pi}{3}$

Como la partícula da tres vueltas iguales, el recorrido mínimo total es: $3d = 3\cdot\frac{50\pi}{3} = 50\pi$

Rpta.: $50\pi$ cm

Ejercicio de Habilidad Lógico-Matemática — UNMSM