Ejercicio de Geometría — PUCP

Pista: Usa la razón entre segmentos (BN y NC) para relacionar las áreas de los triángulos que comparten la misma altura desde O, y aplica la propiedad de la mediana para ir determinando las áreas parciales hasta llegar al área total.

1. Establecer, a partir de $3(BN)=2(NC)$, que $BN:NC=2:3$.

2. Como los triángulos BON y ONC comparten la misma altura desde O hacia BC, sus áreas están en la misma razón que sus bases: $\dfrac{\mathbb{A}_{BON}}{\mathbb{A}_{ONC}}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{8}{\mathbb{A}_{ONC}}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \mathbb{A}_{ONC}=12$.

3. Usar que M es punto medio de AC, por lo que BM es mediana y divide al triángulo ABC en dos triángulos de igual área: $\mathbb{A}_{ABO}=\mathbb{A}_{BOC}$. Como $\mathbb{A}_{BOC}=\mathbb{A}_{BON}+\mathbb{A}_{ONC}=8+12=20$, entonces $\mathbb{A}_{ABO}=20$.

4. Calcular el área del triángulo ABN sumando las regiones que lo componen: $\mathbb{A}_{ABN}=\mathbb{A}_{ABO}+\mathbb{A}_{BON}=20+8=28$.

5. Como los triángulos ABN y ANC comparten el vértice A y sus bases BN y NC están sobre la misma recta, sus áreas también están en razón 2:3: $\dfrac{28}{\mathbb{A}_{ANC}}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \mathbb{A}_{ANC}=42$.

6. Sumar ambas regiones para obtener el área total: $\mathbb{A}_{ABC}=\mathbb{A}_{ABN}+\mathbb{A}_{ANC}=28+42=70\ \mu^2$.