Ejercicio de Geometría — UNMSM

1. Como $AM = 3$ y el radio $OQ = OM = 1$, en el triángulo rectángulo $AOM$ (recto en $M$, pues el radio es perpendicular a la tangente) se cumple: $\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{OM}{AM} = \frac{1}{3}$ lo que corresponde, en un triángulo notable de $37°$–$53°$, al ángulo mitad $\dfrac{37°}{2}$; es decir, el ángulo $A$ del triángulo completo mide $37°$, y por simetría (al ser $AB=BC$) el ángulo $C$ también mide $37°$.
2. Como la suma de ángulos internos es $180°$, el ángulo $B$ mide $180° - 37° - 37° = 106°$... pero al trazar $BO$ (que biseca el ángulo $B$), cada mitad de ese ángulo, junto con el triángulo rectángulo $BMO$, forma un triángulo notable de $70°$–$53°$ (complementario al de $37°$–$53°$ ya usado en $A$ y $C$).
3. En el triángulo rectángulo $BMO$ (recto en $M$), con $OM = 1$ (cateto opuesto al ángulo de $53°$ de ese triángulo notable $70°$–$53°$... siguiendo la relación de lados de ese triángulo notable), se obtiene: $MB = \frac{OM}{\tan(53°)_{\text{del notable } 70°-53°}} = \frac{3}{4}$ (aplicando directamente la razón de catetos del triángulo notable de $70°$–$53°$ que se forma en el vértice $B$).

Respuesta: $\dfrac{3}{4}$ m.