Ejercicio de Aplicación de la congruencia

La figura muestra una lámina delgada de acero cuyo borde es un triángulo ABC, con un ángulo de 45° en el vértice A y un ángulo de 30° en el vértice C. Se desea hacer un corte por la línea punteada $\overline{MN}$ , que se encuentra sobre la mediatriz de $\overline{AB}$ (con N sobre el lado $\overline{AB}$ y M sobre el lado $\overline{AC}$ , o en el interior del triángulo según el trazo).

Si $\overline{AM} = 20$ cm, calcule la longitud de $\overline{BC}$ .

Ver solución paso a paso

(Pista: usa el teorema de la mediatriz para relacionar $\overline{AM}$ con $\overline{MB}$ , y luego analiza el triángulo que se forma con M y los vértices B y C usando los ángulos notables de 30° y 60°.)

1. (Se pide hallar $\overline{BC} = x$ .)

2. (Por el teorema de la mediatriz, todo punto sobre la mediatriz de $\overline{AB}$ equidista de A y de B; por lo tanto, $\overline{AM} = \overline{MB} = 20$ cm.)

3. (Como el ángulo en A es de 45°, el triángulo AMN (formado por la mediatriz) genera ángulos de 45° en la base, lo que permite ubicar el ángulo de 60° en el vértice M dentro del triángulo MCB, complementario al ángulo de 30° dado en C.)

4. (En el triángulo rectángulo CMB, con ángulos de 30° y 60°, y con $\overline{MB} = 20$ cm como cateto opuesto al ángulo de 30°, se plantea la relación $\dfrac{x}{2} = 20$ , considerando la proporción de lados en este triángulo notable.)

5. (Resolviendo, se obtiene $x = 40$ cm.)

6. (Por lo tanto, la longitud de $\overline{BC}$ es 40 cm.)

Ejercicio de Geometría — UNMSM