Admi-Tec
Difícil
Circunferencia
UNMSM · 2026

Ejercicio de Geometría — UNMSM

La figura representa un adorno transparente en elaboración, que, inicialmente, parte de la forma de una esfera. Luego de retirar el segmento esférico inferior de altura HM‾\overline{HM}, el adorno queda terminado y con una base. Si en una sección circular máxima de la esfera se inscribe una región triangular equilátera ABC de área 12312\sqrt{3} cm² y HM=1HM = 1 cm, halle el volumen, en centímetros cúbicos, del sólido que fue retirado para terminar el adorno.

Nota: Considere O como centro de la esfera.

Ver solución paso a paso

Para hallar el volumen retirado hace falta primero conocer el radio R de la esfera. El lado del triángulo equilátero inscrito en la sección máxima es R3R\sqrt{3}, y su área es 12312\sqrt{3}: (R3)234=123⇒R=4\frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3} \Rightarrow R=4

El segmento esférico que se retira tiene altura HM=1HM=1; la distancia del centro O al plano de su base es R−HM=3R-HM=3. Con el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por esa distancia, el radio rr de la base del casquete y el radio de la esfera: 32+r2=42⇒r=73^2+r^2=4^2 \Rightarrow r=\sqrt{7}

Con estos valores, el volumen del segmento esférico es: V=π(1)36+π(7)22(1)=π6+7π2=11π3 cm3V = \frac{\pi(1)^3}{6}+\frac{\pi(\sqrt{7})^2}{2}(1) = \frac{\pi}{6}+\frac{7\pi}{2} = \frac{11\pi}{3} \text{ cm}^3

Rpta.: 11π3\dfrac{11\pi}{3}