Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: resuelve la inecuación con valor absoluto doble paso a paso, y luego identifica qué enteros quedan fuera del conjunto solución.)

1. (Simplificamos la inecuación) $||x-1|-1|-2 > 0 \;\Leftrightarrow\; ||x-1|-1| > 2$ Esto se traduce en dos casos: $|x-1|-1 > 2 \quad \text{o} \quad |x-1|-1 < -2$

2. (Analizamos ambos casos) El primer caso da $|x-1| > 3$. El segundo caso da $|x-1| < -1$, que no tiene solución (un valor absoluto nunca es negativo). Entonces la inecuación se reduce a: $|x-1| > 3 \;\Leftrightarrow\; x < -2 \;\lor\; x > 4$

3. (Determinamos $M$ y su complemento en $\mathbb{Z}$) Como $M = \{x \in \mathbb{Z} \mid x < -2 \lor x > 4\}$, su complemento dentro de los enteros que están "cerca" del intervalo excluido es: $\mathbb{Z} \setminus M = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

4. (Sumamos los elementos) $(-2)+(-1)+0+1+2+3+4 = 7$

5. (Concluimos) La suma pedida es 7, que corresponde a la alternativa C.