Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: agrupa los términos en $x$ y en $y$ por separado, y completa cuadrados en cada grupo para llevar la ecuación a la forma canónica de una hipérbola centrada en $(h;k)$.)

1. Se agrupan los términos: $4(x^2-6x)-(y^2+4y)=-41$.

2. Se completan cuadrados en cada grupo. Para el grupo en $x$: $x^2-6x+9=(x-3)^2$, lo que agrega $4\times9=36$ al lado izquierdo. Para el grupo en $y$: $y^2+4y+4=(y+2)^2$, lo que resta $4$ (por el signo negativo que antecede al grupo) al lado izquierdo: $4(x^2-6x+9)-(y^2+4y+4) = -41+4(9)-4$ $4(x-3)^2-(y+2)^2=-9$

3. Se divide toda la ecuación entre $-9$ para dejar un 1 en el lado derecho, y se reordena en la forma canónica de una hipérbola con eje transverso vertical: $\frac{(y+2)^2}{9}-\frac{(x-3)^2}{9/4}=1$

4. Se identifica el centro $C(3;-2)$ y el semieje transverso $a=\sqrt9=3$ (asociado a la variable $y$, pues el eje transverso es vertical).

5. Los vértices se ubican a una distancia $a=3$ del centro, en dirección vertical: $V_1=(3;-2+3)=(3;1)$ y $V_2=(3;-2-3)=(3;-5)$.

6. Se compara la distancia de cada vértice al origen: $V_1(3;1)$ está más cerca del origen que $V_2(3;-5)$.

Respuesta: (3;1)