Ejercicio de Geometría — PUCP

Pista: Expresa el área del rectángulo en función del radio de la semicircunferencia inscrita para hallar su valor, y luego calcula el área sombreada como la diferencia entre el área del semicírculo y el área de un triángulo formado dentro del rectángulo.

1. Expresar las dimensiones del rectángulo en función del radio r de la semicircunferencia: el largo del rectángulo es $2r$ y el ancho es $r$, pues la semicircunferencia está inscrita tocando los lados del rectángulo.

2. Usar el dato del área del rectángulo para hallar r: $\mathbb{A}_{ABCD}=(2r)(r)=200 \Rightarrow r^2=100 \Rightarrow r=10$.

3. Calcular el área de la región sombreada como la diferencia entre el área del semicírculo y el área del triángulo formado por las diagonales trazadas dentro del rectángulo: $\mathbb{A}_s=\dfrac{\pi(10)^2}{2}-\dfrac{(20)(5)}{2}$.

4. Simplificar: $\mathbb{A}_s=50\pi-50=50(\pi-1)$.