Ejercicio de Áreas y volúmenes

Del gráfico, el área del rectángulo ABCD es $200\ \text{cm}^2$ . Calcule el área de la región sombreada.

[Falta imagen obligatoria: rectángulo ABCD con una semicircunferencia inscrita cuyo diámetro coincide con el lado AD (el lado más largo), y cuyo centro O está en el punto medio de AD; T es el punto donde la semicircunferencia es tangente al lado BC. Desde los vértices B y C se trazan segmentos hacia un punto Q sobre la semicircunferencia, formando una región sombreada delimitada por la semicircunferencia y dichos segmentos cruzados.]

Ver solución paso a paso

Pista: Expresa el área del rectángulo en función del radio de la semicircunferencia inscrita para hallar su valor, y luego calcula el área sombreada como la diferencia entre el área del semicírculo y el área de un triángulo formado dentro del rectángulo.

1. Expresar las dimensiones del rectángulo en función del radio r de la semicircunferencia: el largo del rectángulo es $2r$ y el ancho es $r$ , pues la semicircunferencia está inscrita tocando los lados del rectángulo.

2. Usar el dato del área del rectángulo para hallar r: $\mathbb{A}_{ABCD}=(2r)(r)=200 \Rightarrow r^2=100 \Rightarrow r=10$ .

3. Calcular el área de la región sombreada como la diferencia entre el área del semicírculo y el área del triángulo formado por las diagonales trazadas dentro del rectángulo: $\mathbb{A}_s=\dfrac{\pi(10)^2}{2}-\dfrac{(20)(5)}{2}$ .

4. Simplificar: $\mathbb{A}_s=50\pi-50=50(\pi-1)$ .

Ejercicio de Geometría — PUCP