Ejercicio de Geometría — UNMSM

Cuando un problema te pide un perímetro "mínimo de medida entera" en un triángulo con datos parciales, la desigualdad triangular es casi siempre la herramienta que abre la puerta.

1. Sea $q = MN$, $m = QN$, $n = MQ$. Buscamos el mínimo entero del perímetro $2p = m+n+q$.
2. En el triángulo $MRN$ (con $MR=4$, $RN=9$), por desigualdad triangular: $9-4 < q < 9+4 \quad\Rightarrow\quad 5 < q < 13$
3. Además, la ruta directa $MN$ es siempre más corta que ir por $R$: $MR + RN < MQ + QN$, es decir: $4 + 9 < m+n \quad\Rightarrow\quad 13 < m+n$
4. Sumando ambas desigualdades: $5 + 13 < q + (m+n) \quad\Rightarrow\quad 18 < 2p$
5. El menor entero que supera a $18$ es $19$; por lo tanto, el mínimo recorrido perimetral de medida entera es $19$ m.