Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: plantea los tres lados como $a-1$, $a$, $a+1$ y usa la fórmula de Herón con el semiperímetro para hallar $a$; una vez identificado que el triángulo resultante es rectángulo, ubica el incentro y el circuncentro sobre sus posiciones conocidas y calcula la distancia entre ellos con el teorema de Pitágoras.)

1. Sean los lados $a-1$, $a$, $a+1$. El semiperímetro es: $p = \frac{(a-1)+a+(a+1)}{2} = \frac{3a}{2}$

2. Se aplica la fórmula de Herón, igualando el área a 6: $6 = \sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2}-(a-1)\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-(a+1)\right)}$

3. Al simplificar y resolver esta ecuación, se obtiene $a=4$. Los lados del triángulo son entonces $3$, $4$ y $5$, que forman un triángulo rectángulo (pues $3^2+4^2=5^2$).

4. En un triángulo rectángulo, el circuncentro $O$ se ubica en el punto medio de la hipotenusa (de longitud 5), por lo que $O$ dista $\frac52$ de cada extremo de la hipotenusa.

5. Se calcula el inradio con el teorema de Poncelet (válido en triángulos rectángulos): $3+4=5+2r \Rightarrow r=1$.

6. Ubicando el incentro $I$ respecto a los catetos (a distancia $r=1$ de cada uno) y el circuncentro $O$ (en el punto medio de la hipotenusa), se forma un triángulo rectángulo auxiliar entre ambos centros cuyos catetos miden $1$ (la diferencia de alturas) y $\frac12$ (la diferencia de posiciones horizontales a lo largo de la hipotenusa). Se aplica el teorema de Pitágoras: $x^2 = 1^2+\left(\frac12\right)^2 = 1+\frac14=\frac54$

7. Se despeja: $x = \sqrt{\dfrac54} = \dfrac{\sqrt5}{2}$.

Respuesta: √5/2