Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: convierte cada ecuación en una cuadrática usando la propiedad $\log_a b = 1/\log_b a$, y resuelve por factorización.)

1. (Resolvemos la primera ecuación) Usamos $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ en $\log_b a + 11\log_a b = 12$: $\log_b a + \frac{11}{\log_b a} = 12$ Multiplicando por $\log_b a$ y ordenando: $(\log_b a)^2 - 12\log_b a + 11 = 0$ Factorizando: $(\log_b a - 11)(\log_b a - 1) = 0 \;\Rightarrow\; \log_b a = 11 \;\lor\; \log_b a = 1$

2. (Resolvemos la segunda ecuación de forma análoga) En $\log_{\sqrt[7]{2}} b - 7\log_b \sqrt[7]{2} = 6$, usamos que $\log_b \sqrt[7]{2} = \dfrac{1}{\log_{\sqrt[7]{2}} b}$:

$\Rightarrow(\log_{\sqrt[7]{2}} b)^2 - 6\log_{\sqrt[7]{2}} b - 7 = 0$

Factorizando: $(\log_{\sqrt[7]{2}}b - 7)(\log_{\sqrt[7]{2}}b + 1) = 0 \;\Rightarrow\; \log_{\sqrt[7]{2}}b = 7 \;\lor\; \log_{\sqrt[7]{2}}b = -1$ Como el dato indica $\log_{\sqrt[7]{2}}b > 0$, se descarta el valor negativo y queda $\log_{\sqrt[7]{2}}b = 7$.

3. (Hallamos el valor de $b$) Por definición de logaritmo: $b = (\sqrt[7]{2})^7$ Notemos que ${}^7\!\sqrt2 = 2^{1/7}$, y de la ecuación original se puede verificar que esta expresión se simplifica a $b = 2$ (siguiendo la relación entre las dos ecuaciones planteadas en el problema original).

4. (Hallamos el valor de $a$) Como $b = 2$, retomamos $\log_b a = 11$ o $\log_b a = 1$, es decir $\log_2 a = 11$ o $\log_2 a = 1$, lo que da $a = 2^{11}$ o $a = 2$. Como el dato indica $a \neq b$, descartamos $a = 2$ y nos quedamos con $a = 2^{11}$.

5. (Evaluamos la expresión pedida) $\frac{a}{32} - 4\log_{0,5} a = \frac{2^{11}}{2^5} - 4\log_{2^{-1}} 2^{11} = 2^6 - 4(-11) = 64 + 44 = 108$

6. (Concluimos) El resultado es 108, que corresponde a la alternativa C.