Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: relaciona la razón entre el circunradio y el inradio con el coseno del semiángulo central, para así determinar cuántos lados tiene el polígono.)

1. (Relacionamos R y r con el ángulo central) En un polígono regular de $n$ lados, si trazamos el apotema (inradio $r$) y el radio (circunradio $R$) hacia un mismo vértice, se forma un triángulo rectángulo donde $r = R\cos(\theta)$, siendo $\theta$ la mitad del ángulo central.

2. (Usamos el dato dado) Como $R = \dfrac{2}{\sqrt3}r$, entonces $\dfrac{r}{R} = \dfrac{\sqrt3}{2} = \cos\theta$, de donde $\theta = 30°$.

3. (Hallamos el número de lados) El ángulo central completo es $2\theta = 60°$, y como el ángulo central de un polígono regular de $n$ lados es $\dfrac{360°}{n}$: $\frac{360°}{n} = 60° \;\Rightarrow\; n = 6$

4. (Calculamos el número de diagonales) Usamos la fórmula del número de diagonales de un polígono de $n$ lados: $D = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9$

5. (Concluimos) El polígono tiene 9 diagonales, que corresponde a la alternativa B.