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Teoría de conjuntos - lógica proposicional
UNI · 2026

Ejercicio de Álgebra — UNI

Sean A y B los conjuntos de los números enteros negativos y positivos, respectivamente. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. ∃x∈A,∀y∈B:x+y∈A\exists x \in A, \forall y \in B: x+y \in A

II. ∀x∈A,∀y∈B:xy∈B\forall x \in A, \forall y \in B: xy \in B

III. ∃x∈A,∀y∈B:x+y∈A∨x+y∈B\exists x \in A, \forall y \in B: x+y \in A \lor x+y \in B

Señale la alternativa que contiene la secuencia correcta.

Ver solución paso a paso

Idea clave: cuando una proposición empieza con ∃x,∀y\exists x, \forall y, para refutarla basta con encontrar un solo yy (dentro del "para todo") que rompa la afirmación, para cualquier xx que se elija. Conviene buscar ese contraejemplo antes de intentar demostrar la proposición en general.

1. Afirmación I. Tomemos cualquier x0∈Ax_0\in A (negativo) y probemos con y=−x0∈By=-x_0\in B (positivo, ya que x0<0x_0<0). Entonces x0+y=x0−x0=0x_0+y=x_0-x_0=0, que no es negativo, así que 0∉A0\notin A. Como esto ocurre sin importar qué x0x_0 elijamos (siempre podemos tomar y=−x0y=-x_0), la afirmación falla para todo xx. (Falso)

2. Afirmación II. Aquí basta un contraejemplo directo: si x=−1∈Ax=-1\in A y y=1∈By=1\in B, el producto es xy=−1xy=-1, que es negativo y por tanto no pertenece a B. (Falso)

3. Afirmación III. Usamos el mismo par que en la afirmación I: con y=−x0y=-x_0, obtenemos x0+y=0x_0+y=0, y 00 no pertenece ni a A (los negativos) ni a B (los positivos), así que ninguna de las dos opciones de la disyunción se cumple. (Falso)

Respuesta: E) FFF