Ejercicio de Álgebra — UNI

Pista: como el lado izquierdo es no negativo, primero exige $1-x\ge0$. Esa condición simplifica $|x-1|$.

1. Es necesario que

$$1-x\ge0\Rightarrow x\le1.$$

2. Para $x\le1$,

$$|x-1|=1-x.$$

Entonces

$$||x-1|-1|=|1-x-1|=|-x|=|x|.$$

La inecuación queda

$$|x|\le1-x.$$

3. Como $1-x\ge0$, podemos escribir

$$-(1-x)\le x\le1-x.$$

La desigualdad de la izquierda es siempre cierta, y la de la derecha da

$$2x\le1\Rightarrow x\le\frac12.$$

Por ello,

$$A=(-\infty,\tfrac12].$$

4. Además,

$$\mathbb R\setminus(-1,1)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).$$

Al intersectar con $A$:

$$(\mathbb R\setminus(-1,1))\cap A=(-\infty,-1].$$

Respuesta: B