Ejercicio de Geometría — UNMSM
La figura representa el plano de un parque en el que AN, CM y BH suponen veredas. Si AN y CM son bisectrices de los ángulos A y C, respectivamente, m∠BAC = 53° y AB = 36 m, calcule la distancia aproximada, en metros, que una persona debe recorrer para desplazarse desde el punto P al punto Q, sobre la vereda BH (siendo P y Q los puntos donde CM y AN, respectivamente, cortan a la altura BH).
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💡 Idea clave: cuando una altura BH es cortada por una bisectriz interior desde un vértice adyacente, se forma un triángulo isósceles, ya que el ángulo que forma la bisectriz con la altura es igual al ángulo que forma con el lado, permitiendo trasladar longitudes por igualdad de segmentos (BR = BN, por ejemplo).
- Como m∠BAC = 53°, usamos las razones notables del triángulo rectángulo 53°-37° que se generan al trazar la altura BH, junto con las bisectrices AN y CM.
- Aplicando la propiedad de que la bisectriz desde un vértice y la altura desde el vértice opuesto generan un triángulo isósceles con el lado correspondiente, se cumple: BM = BP y BN = BQ.
- Con AB = 36 (y usando las proporciones del triángulo notable 53°-37° para hallar BM y BN a partir de las cevianas), se obtiene: BM = BP = 16 y BN = BQ = 18.
- Como P y Q están ambos sobre la altura BH, la distancia entre ellos es la diferencia entre BQ y BP:
Respuesta: E) 2