Ejercicio de Programación lineal

Sea el problema: $P: \min(3x_1 - 4x_2)$ $(x_1; x_2) \in C$ Si $C = \{(x_1;x_2)/A\bar{x} \leq b\}$ , $A$ es una matriz de $2\times2$ , $b \in \mathbb{R}^2$ , $\bar x = (x_1;x_2)$ . Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si $\bar x$ es solución del problema P, entonces $\bar x$ puede pertenecer al interior de C.

II. En cada vértice $\mu$ del conjunto C se cumple $A\mu \leq b$ .

III. En cada punto $w$ del interior de C se tiene $Aw < b$ .

Indique la secuencia correcta.

Ver solución paso a paso

(Pista: recuerda que en programación lineal, la solución óptima de una región factible poliédrica siempre se encuentra en un vértice, nunca en el interior.)

1. (Evaluamos la proposición I) En programación lineal, si la región factible $C$ es un poliedro (convexo, acotado por rectas), la solución óptima de un problema lineal siempre se encuentra en uno de los vértices de $C$ , nunca en el interior. Por lo tanto, la proposición es falsa.

2. (Evaluamos la proposición II) Por definición, cualquier vértice $\mu$ de la región factible $C$ satisface las restricciones del problema, es decir, cumple $A\mu \leq b$ . La proposición es verdadera.

3. (Evaluamos la proposición III) Un punto $w$ que pertenece estrictamente al interior de $C$ no toca el borde de la región (no está sobre ninguna de las rectas que definen las restricciones), por lo que las desigualdades se cumplen de forma estricta: $Aw < b$ . La proposición es verdadera.

4. (Concluimos) La secuencia es FVV, que corresponde a la alternativa A.

Ejercicio de Álgebra — UNI