Ejercicio de Relaciones métricas en la circunferencia

En la figura $AB$ y $CD$ son segmentos tangentes a la circunferencia de centro O en A y C respectivamente. Si $CD = 15 u$ , $AB = 5 u$ y $AP = 5 u$ , entonces ¿cuál es la longitud (en u) de $PQ$ ?

Ver solución paso a paso

Pista: primero usa las relaciones angulares de tangente y cuerda para reconocer un triángulo isósceles; después aplica potencia de un punto desde $D$ .

1. Las relaciones angulares de la configuración permiten establecer

\angle DCP=\angle CPD.

Por ello, $\triangle CDP$ es isósceles y

DP=CD=15.

2. Sea $PQ=x$ . Como $P,Q,D$ son colineales y $Q$ está entre $P$ y $D$ ,

DQ=DP-PQ=15-x.

Además, $A,P,D$ son colineales, de modo que

DA=DP+PA=15+5=20.

3. Desde el punto exterior $D$ , la potencia respecto de la circunferencia puede calcularse con la tangente $DC$ y la secante $DQA$ :

DC^2=DQ\cdot DA.

Entonces

15^2=(15-x)(20).

4. Resolviendo:

225=300-20x\Rightarrow20x=75\Rightarrow x=3{,}75.

Respuesta: B

Ejercicio de Geometría — UNI