Ejercicio de Geometría — UNI

Idea clave: este problema tiene dos partes claramente separadas: primero hay que usar la información plana de la base (un cuadrado ABCD con dos segmentos cruzados) para hallar el lado del cuadrado, y recién después trabajar en el espacio para hallar el volumen. No conviene mezclar ambas partes desde el inicio.

1. Trabajando en la base cuadrada. Sea $L$ el lado del cuadrado ABCD. Con $DE=3$, se tiene $AE=L-3$. Las áreas dadas (de los triángulos AGE y BFG, formados por el cruce de AF y BE) se relacionan con el área total del cuadrado mediante dos ecuaciones que involucran una región auxiliar intermedia $S$ (el área de uno de los triángulos que completa la figura): $S+\frac{9}{5}=L(L-3) \qquad \text{...(1)}$ $L^2=2\left(\frac{54}{5}+S\right) \qquad \text{...(2)}$

2. Resolviendo el sistema (1)-(2) —por ejemplo, despejando $S$ de (1) y sustituyendo en (2)— se obtiene $S=\dfrac{36}{5}$, y por lo tanto el área del cuadrado es $L^2=2\left(\dfrac{36}{5}+\dfrac{54}{5}\right)=2(18)=36$, de donde $L=6$.

3. Ahora trabajamos con el sólido. Como todas las aristas de la pirámide son congruentes e iguales a $L=6$, y la base es un cuadrado de lado 6, trazamos la altura VH desde el vértice V hasta el centro H de la base.

4. La distancia de H a cualquier vértice de la base es la mitad de la diagonal: $HC=\dfrac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$.

5. En el triángulo rectángulo VHC (rectángulo en H), la hipotenusa es la arista lateral $VC=6$ y un cateto es $HC=3\sqrt2$. Por Pitágoras: $h^2+\left(3\sqrt2\right)^2=6^2 \Rightarrow h^2+18=36 \Rightarrow h^2=18 \Rightarrow h=3\sqrt2$.

6. El volumen de la pirámide es $V=\dfrac{1}{3}(\text{área de la base})\times h=\dfrac{1}{3}(6)^2(3\sqrt2)=\dfrac{1}{3}(36)(3\sqrt2)=36\sqrt2$.

Respuesta: C) $36\sqrt2$