Ejercicio de Álgebra — UNI

Idea clave: en programación lineal, el máximo (o mínimo) de una función objetivo lineal siempre se alcanza en un vértice de la región factible, nunca en un punto interior. Así que el trabajo se reduce a hallar los vértices del polígono que forman las restricciones y evaluar la función objetivo en cada uno.

1. Graficamos cada restricción como una recta frontera y determinamos hacia qué lado se extiende la región permitida: $x-y=-5$ (recta con intersección en $(-5,0)$ y $(0,5)$, tomamos el lado donde $x-y\geq-5$), $2x+y=10$ (intersección en $(5,0)$ y $(0,10)$, tomamos el lado donde $2x+y\leq10$), más el primer cuadrante ($x\geq0$, $y\geq0$).

2. La región factible resulta ser un cuadrilátero con vértices en $(0;0)$, $(0;5)$, la intersección de las dos rectas oblicuas, y $(5;0)$.

3. Hallamos esa intersección resolviendo el sistema $x-y=-5$ y $2x+y=10$ simultáneamente: sumando ambas ecuaciones, $3x=5 \Rightarrow x=\dfrac{5}{3}$, y sustituyendo, $y=\dfrac{20}{3}$. El vértice es $\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{20}{3}\right)$.

4. Evaluamos $C(x;y)=3x+y$ en los cuatro vértices:

• $(0;0)$: $C=0$
• $(0;5)$: $C=5$
• $\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{20}{3}\right)$: $C=3\left(\dfrac53\right)+\dfrac{20}{3}=5+\dfrac{20}{3}=\dfrac{35}{3}\approx11,7$
• $(5;0)$: $C=15$

5. El mayor valor de $C$ se obtiene en $(5;0)$, con $C=15$.

6. $x_0+y_0=5+0=5$.

Respuesta: B) 5