Ejercicio de Geometría

En el lado $\overline{AC}$ de un triángulo ABC, se ubica un punto P, tal que $AB=BP=PC$ . Si la medida del ángulo exterior del vértice B es 111°, calcule $m\angle ABP$ .

Ver solución paso a paso

El ángulo exterior en B es 111°, entonces el ángulo interior $\angle ABC = 180°-111°=69°$ .
Como $AB=BP$ , el triángulo ABP es isósceles: $\angle BAP=\angle BPA=x$ (ángulos opuestos a los lados iguales).
Como $BP=PC$ , el triángulo BPC es isósceles: $\angle PBC=\angle PCB=y$ .
Como A, P, C son colineales: $\angle BPA+\angle BPC=180°$ . En el triángulo BPC: $\angle BPC=180°-2y$ . Entonces $x+(180°-2y)=180° \Rightarrow x=2y$ .
$\angle ABC = \angle ABP+\angle PBC = (180°-2x)+y = 69°$ .
Sustituyendo $x=2y$ : $180°-4y+y=69° \Rightarrow 180°-3y=69° \Rightarrow y=37°$ .
Entonces $x=2(37°)=74°$ .
$\angle ABP = 180°-2x = 180°-148°=32°$ .

Respuesta: B) 32°