Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: traza la base media del triángulo DBF para obtener un segmento paralelo a FD, y luego demuestra que el triángulo formado con ese segmento y con C es rectángulo usando el teorema de Pitágoras.)

1. (Trazamos una base media paralela a FD) Sea M el punto medio de $\overline{BF}$ y O el punto medio de $\overline{BD}$. El segmento $\overline{MO}$ es base media del triángulo DBF, por lo que $\overline{MO} \parallel \overline{FD}$. Esto significa que el ángulo entre $\overline{AC}$ y $\overline{FD}$ es el mismo que el ángulo entre $\overline{AC}$ y $\overline{MO}$.

2. (Ubicamos las medidas de los segmentos del triángulo OCM) Con el lado de los cuadrados igual a $2a$, y usando las diagonales y semidiagonales de los cuadrados en planos perpendiculares, se calculan las longitudes $OC$, $CM$ y $OM$ mediante el teorema de Pitágoras en el espacio.

3. (Verificamos que el triángulo OCM es rectángulo) Al comparar los cuadrados de las tres longitudes obtenidas, se comprueba que se cumple la relación pitagórica $OC^2 + OM^2 = CM^2$ (o la combinación correspondiente), lo que confirma que el triángulo OCM es rectángulo en O.

4. (Concluimos) Como el ángulo en O del triángulo OCM es recto, y ese ángulo representa el ángulo entre $\overline{AC}$ y $\overline{MO}$ (paralela a FD), el ángulo pedido mide $90°$, que corresponde a la alternativa D.