Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: como todos los arcos comparten el mismo ángulo central, sus longitudes son proporcionales a sus radios; usa esa proporcionalidad junto con el dato $r/R$ para hallar cuántos términos tiene la serie, y luego suma la serie geométrica de longitudes para hallar $L$.)

1. Como todos los arcos tienen el mismo ángulo central, sus longitudes son proporcionales a sus radios: $\dfrac{L}{R} = \dfrac{L/2^n}{r}$, de donde $\dfrac{r}{R} = \dfrac{1}{2^n}$.

2. Se iguala con el dato: $\dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2^n}$, de donde $2^n = 32 = 2^5$, es decir $n=5$.

3. Se plantea la suma de las longitudes de los arcos, que forman una serie geométrica de razón $\frac12$ con 6 términos (desde $L$ hasta $L/2^5$): $L+\frac{L}{2}+\frac{L}{4}+\cdots+\frac{L}{2^5}=63\pi$

4. Se factoriza $L$ y se usa la fórmula de suma de una serie geométrica finita: $L\left(1+\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{2^5}\right)=63\pi$ $L\cdot\frac{1-\frac{1}{2^6}}{1-\frac12}=63\pi$

5. Se simplifica el factor entre paréntesis: $\dfrac{1-\frac{1}{64}}{\frac12} = \dfrac{63/64}{1/2}=\dfrac{63}{32}$.

6. Se reemplaza: $L\cdot\dfrac{63}{32}=63\pi$, de donde $L=32\pi$.

Respuesta: 32π