Ejercicio de Poliedros regulares

Un poliedro convexo está formado por $4$ regiones triangulares y $5$ regiones cuadrangulares. Calcule el número de diagonales del poliedro.

Ver solución paso a paso

Pista: encuentra primero caras, aristas y vértices con conteo de incidencias y Euler; luego resta de todos los pares de vértices las aristas y las diagonales que pertenecen a las caras.

1. El número de caras es

F=4+5=9.

La suma de lados de todas las caras es

4(3)+5(4)=32.

Cada arista pertenece a dos caras, así que

E=\frac{32}{2}=16.

2. Por Euler,

V-E+F=2.

Entonces

V=2+E-F=2+16-9=9.

3. Entre $9$ vértices hay

\binom92=36

segmentos posibles. De ellos, $16$ son aristas.

4. Además, las diagonales de las caras no cuentan como diagonales espaciales del poliedro. Cada cuadrilátero tiene $2$ diagonales y los triángulos no tienen diagonales, de modo que hay

5(2)=10

diagonales de caras.

5. Por tanto,

D=36-16-10=10.

Respuesta: B

Ejercicio de Geometría — UNI