Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: resuelve primero la inecuación que define a $S$, identifica en qué punto de ese conjunto $f$ alcanza su máximo, y luego usa el dato $g(3)=5$ para hallar $b$.)

1. (Resolvemos la inecuación que define $S$) Partimos de $\dfrac{1}{x-1} \leq \dfrac{1}{2}$, y pasamos todo a un solo lado: $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2} \leq 0 \;\Rightarrow\; \frac{3-x}{2(x-1)} \leq 0$ Multiplicando por $-1$ (invirtiendo la desigualdad): $\frac{x-3}{x-1} \geq 0$ Analizando el signo con los puntos críticos $x=1$ y $x=3$, obtenemos: $S = \langle -\infty; 1\rangle \cup [3; +\infty\rangle$

2. (Identificamos dónde $f$ es máxima sobre $S$) Como $f(x) = \dfrac{1}{x-1}$ es una función decreciente para $x > 1$ y positiva solo quand $x>1$, dentro de la parte de $S$ donde $x \geq 3$, el valor máximo de $f$ se alcanza en el extremo izquierdo de ese tramo, es decir en $x = 3$. Por lo tanto $x_0 = 3$.

3. (Planteamos $g(x)$ con $x_0=3$) $g(x) = 2(3)f(x) + b = \frac{6}{x-1} + b$

4. (Usamos el dato $g(3)=5$ para hallar $b$) $\frac{6}{3-1} + b = 5 \;\Rightarrow\; 3 + b = 5 \;\Rightarrow\; b = 2$

5. (Calculamos lo pedido) Con $g(x) = \dfrac{6}{x-1}+2$: $g(2) = \frac{6}{2-1}+2 = 6+2 = 8$ $g(2)+b = 8+2 = 10$ que corresponde a la alternativa B.