Ejercicio de Rotaciones y traslaciones (tableros)

Carlos ha construido una pieza plana con ocho laminas cuadradas de $4\ \text{cm}$ de lado cada una, formando una figura tipo "marco" (un cuadrado grande de $3\times3$ laminas al que se le ha quitado la lamina central). Esta pieza ha sido colocada sobre una mesa, y se ha ubicado un vertice $V$ en la esquina inferior derecha de la figura. Carlos se dispone a girarla sobre la superficie de la mesa, fijando como punto de giro el vertice $V$ , en sentido horario, un angulo de $90°$ . ¿Cual es el perimetro de la region generada por la pieza plana durante ese giro?

Dato: cada lamina cuadrada tiene lado $4\ \text{cm}$ , por lo que la pieza completa (el "marco") mide $12\ \text{cm}\times12\ \text{cm}$ por lado.

Ver solución paso a paso

La pieza plana es un cuadrado de lado $12\ \text{cm}$ ( $3$ laminas de $4\ \text{cm}$ ) con el vertice de giro $V$ ubicado en una de sus esquinas.
Al girar la pieza $90°$ en sentido horario alrededor de $V$ , el vertice opuesto (el mas alejado de $V$ , en la esquina diagonalmente opuesta) recorre un arco de circunferencia cuyo radio es la diagonal del cuadrado: $d = 12\sqrt{2}\ \text{cm}$
Ese arco corresponde a un cuarto de circunferencia ( $90°$ de $360°$ ), por lo que su longitud es: $\frac{2\pi (12\sqrt{2})}{4} = 6\pi\sqrt{2}\ \text{cm}$
La region total generada por el giro queda delimitada, ademas de ese arco, por los tramos rectos del contorno de la pieza en sus posiciones inicial y final, los cuales, al combinarse tras el giro, suman en total $48\ \text{cm}$ de segmentos rectos.
Sumando los tramos rectos y el arco curvo: $\text{Perimetro} = 48 + 6\pi\sqrt{2}$
Factorizando: $48 + 6\pi\sqrt{2} = 6(8+\pi\sqrt{2})\ \text{cm}$
Por lo tanto, el perimetro de la region generada es $6(8+\pi\sqrt{2})\ \text{cm}$ .

Ejercicio de Habilidad Lógico-Matemática — UNMSM