Admi-Tec
Medio
Números complejos
UNMSM · 2026

Ejercicio de Álgebra — UNMSM

En navegación, la posición de un barco se puede representar con el número complejo z=a+biz = a+bi. Halle la distancia que separa, en kilómetros, a dos barcos cuyas posiciones son z1=(1−i)2(1+i)z_1 = (1-i)^2(1+i) y z2=(1+i)3z_2 = (1+i)^3.

Ver solución paso a paso

Antes de calcular cualquier distancia, hay que simplificar cada número complejo a su forma a+bia+bi; ahí es donde vale la pena tomarse el tiempo de expandir con cuidado.

  1. Desarrollamos z1z_1: (1−i)2=1−2i+i2=1−2i−1=−2i(1-i)^2 = 1-2i+i^2 = 1-2i-1 = -2i, así que z1=−2i(1+i)=−2i−2i2=−2i+2=2−2iz_1 = -2i(1+i) = -2i-2i^2 = -2i+2 = 2-2i
  2. Desarrollamos z2z_2: como (1+i)2=1+2i+i2=2i(1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i, entonces z2=(1+i)2(1+i)=2i(1+i)=2i+2i2=2i−2=−2+2iz_2 = (1+i)^2(1+i) = 2i(1+i) = 2i+2i^2 = 2i-2 = -2+2i
  3. Los puntos en el plano complejo son (2,−2)(2,-2) y (−2,2)(-2,2).
  4. Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos: d=(2−(−2))2+(−2−2)2=42+(−4)2=32d = \sqrt{(2-(-2))^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{4^2+(-4)^2} = \sqrt{32}
  5. Simplificando: 32=42\sqrt{32} = 4\sqrt{2}. Por lo tanto, la distancia entre los barcos es 424\sqrt{2} km.