Ejercicio de Matrices — UNI

Sea $A$ una matriz cuadrada. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. Si $A$ es antisimétrica, entonces puede tener un elemento no nulo en su diagonal principal.

II. La matriz $A$ puede expresarse como la suma de una matriz simétrica con una antisimétrica.

III. Si $A$ puede expresarse como la suma de una matriz simétrica $B$ con una antisimétrica $C$ , entonces existe una matriz antisimétrica $M\ne C$ y una matriz simétrica $N\ne B$ tales que $A=M+N$ .

Marque la alternativa que contenga la secuencia correcta.

Ver solución paso a paso

Pista: usa la descomposición estándar $A=\frac12(A+A^T)+\frac12(A-A^T)$ y recuerda que esa descomposición es única.

1. Si $A$ es antisimétrica, $A^T=-A$ . En la diagonal, $a_{ii}=-a_{ii}$ , por lo que $a_{ii}=0$ . La proposición I es falsa.

2. Para cualquier matriz cuadrada,

A=\frac12(A+A^T)+\frac12(A-A^T).

El primer sumando es simétrico y el segundo antisimétrico. La proposición II es verdadera.

3. Esta descomposición es única: la parte simétrica necesariamente es $\frac12(A+A^T)$ y la parte antisimétrica es $\frac12(A-A^T)$ . Por tanto, no existe otra pareja distinta como afirma III. La proposición III es falsa.

4. La secuencia es $F,V,F$ .

Respuesta: B

Ejercicio de Álgebra — UNI