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Medio
Números complejos
UNI

Ejercicio de Álgebra — UNI

¿Cuál es la relación entre los números reales xx e yy para que el número complejo

z=3x−4i5+yiz=\frac{3x-4i}{5+yi}

sea un número imaginario puro?

Ver solución paso a paso

Pista: racionaliza el denominador y obliga a que la parte real del resultado sea cero.

1. Multiplicamos por el conjugado 5−yi5-yi:

z=(3x−4i)(5−yi)25+y2.z=\frac{(3x-4i)(5-yi)}{25+y^2}.

2. Desarrollando el numerador:

(3x−4i)(5−yi)=(15x−4y)−(3xy+20)i.(3x-4i)(5-yi)=(15x-4y)-(3xy+20)i.

Por tanto,

z=15x−4y25+y2−3xy+2025+y2i.z=\frac{15x-4y}{25+y^2}-\frac{3xy+20}{25+y^2}i.

3. Para que sea imaginario puro, su parte real debe anularse:

15x−4y=0.15x-4y=0.

Así,

y=154x.y=\frac{15}{4}x.

Respuesta: A