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Determinantes
UNI · 2025

Ejercicio de Álgebra — UNI

Si se sabe que a+b+c=1a + b + c = 1, halle el determinante de: A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}

Ver solución paso a paso

(Pista: calcula el determinante por la regla de Sarrus y luego factoriza usando la identidad de Gauss para a3+b3+c3−3abca^3+b^3+c^3-3abc.)

1. (Aplicamos la regla de Sarrus) Al desarrollar el determinante de la matriz 3×33\times3 dada, se obtiene: ∣A∣=3abc−(a3+b3+c3)|A| = 3abc - (a^3+b^3+c^3) es decir, ∣A∣=−(a3+b3+c3−3abc)|A| = -(a^3+b^3+c^3-3abc)

2. (Factorizamos usando la identidad de Gauss) Recordamos que a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) Entonces: ∣A∣=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)|A| = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

3. (Usamos el dato a+b+c=1a+b+c=1) Reemplazando: ∣A∣=−(a2+b2+c2−ab−bc−ac)|A| = -(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) ∣A∣=ab+ac+bc−(a2+b2+c2)|A| = ab+ac+bc-(a^2+b^2+c^2)

4. (Concluimos) El determinante buscado corresponde a la alternativa E.