Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: la parábola $y=6x-x^2$ y la recta $y=3x$ se cortan en $x=0$ y $x=3$; "$h$" es la distancia vertical entre ambas curvas, y "$\ell$" es la distancia horizontal entre ambas curvas para una misma altura $y$.)

1. Para hallar "$h$": la parábola tiene ecuación $y_1 = 6x - x^2$ y la recta que pasa por el origen y por $(3;9)$ tiene ecuación $y_2 = 3x$. Entonces: $h = y_1 - y_2 = (6x-x^2) - 3x = -x^2 + 3x, \quad x \in [0;3]$

2. Para hallar "$\ell$": se despeja $x$ en función de $y$ en ambas curvas. En la parábola, $y = 6x_1 - x_1^2$ se reordena como $x_1^2 - 6x_1 + y = 0$, y resolviendo por la fórmula general (tomando la raíz que corresponde a la rama de interés): $x_1 = 3 - \sqrt{9-y}$ En la recta, $y = 3x_2$ implica $x_2 = \dfrac{y}{3}$.

3. Entonces $\ell = x_2 - x_1 = \dfrac{y}{3} - 3 + \sqrt{9-y}$.

4. Proposición I: como $h = -x^2 + 3x$ es una parábola con coeficiente principal negativo, su máximo ocurre en el vértice, en $x = -\dfrac{3}{2(-1)} = \dfrac{3}{2}$. Es (V).

5. Proposición II: sumando las expresiones obtenidas para $h$ y $\ell$: $h + \ell = (-x^2+3x) + \left(\frac{y}{3} - 3 + \sqrt{9-y}\right) = -3 + 3x - x^2 + \frac{y}{3} + \sqrt{9-y}$ Coincide exactamente con lo propuesto. Es (V).

6. Proposición III: la gráfica de $h = -x^2+3x$ en $[0;3]$ es una parábola que sube y luego baja (simétrica respecto de $x=3/2$), por lo que existen pares de valores distintos de $x$ que dan la misma imagen. Por lo tanto, "$h$" no es inyectiva; la proposición es (F).

7. La secuencia final es VVF.

Respuesta: VVF