Ejercicio de Geometría — UNMSM

💡 Idea clave: al desarrollar la superficie lateral de un cono, el radio de la base y la generatriz se relacionan con el ángulo central del sector circular resultante mediante $\theta° = \dfrac{360° \cdot r}{g}$, ya que la longitud del arco del sector debe coincidir con el perímetro de la base circular del cono.

1. Relacionamos la generatriz g, el radio r y la altura h = $40\sqrt{2}$ mediante el teorema de Pitágoras (en la sección transversal del cono): $g^2 = r^2 + \left(40\sqrt{2}\right)^2$
2. Usamos la relación entre el ángulo central del sector (120°) y las medidas del cono, que se obtiene de igualar el arco del sector con la circunferencia de la base: $120° = \frac{360° \cdot r}{g} \Rightarrow g = 3r$
3. Sustituimos g = 3r en la primera ecuación: $(3r)^2 = r^2 + (40\sqrt{2})^2$ $9r^2 - r^2 = 3200 \Rightarrow 8r^2 = 3200 \Rightarrow r^2 = 400 \Rightarrow r = 20$
4. Hallamos la generatriz: $g = 3(20) = 60$
5. Calculamos el área del cartón (área del sector circular de radio g y ángulo 120°): $\text{Área} = \frac{\pi g^2 (120°)}{360°} = \frac{\pi (60)^2}{3} = \frac{3600\pi}{3} = 1200\pi \text{ cm}^2$

Respuesta: B) 1200π cm²