Ejercicio de Áreas de regiones triangulares

En la figura mostrada, el triángulo ABC es recto en B y $AM=20$ m. Calcule aproximadamente el área máxima (en $m^2$ ) de la región sombreada.

Ver solución paso a paso

Pista: usa la razón notable $3$ - $4$ - $5$ asociada a $53^\circ$ . Expresa el área sombreada como una función cuadrática de un parámetro $k$ y busca su máximo.

1. Como $\triangle ABC$ es rectángulo y $\angle A\approx53^\circ$ , tomamos

AB=3k,\qquad BC=4k,\qquad AC=5k.

Como $AM=20$ y $C$ está entre $A$ y $M$ :

CM=20-5k.

2. Sea $BH$ la altura desde $B$ a la recta $AM$ (que coincide con la hipotenusa $AC$ del triángulo rectángulo). Por relaciones métricas,

AB\cdot BC=AC\cdot BH.

Así,

(3k)(4k)=5k\,BH \Rightarrow BH=\frac{12k}{5}.

3. El área del triángulo $BCM$ es

A(k)=\frac12\,CM\cdot BH =\frac12(20-5k)\frac{12k}{5}.

Simplificando:

A(k)=24k-6k^2.

4. Esta parábola abre hacia abajo. Su máximo está en

k=-\frac{24}{2(-6)}=2.

Entonces

A_{\max}=24(2)-6(2)^2=48-24=24.

Respuesta: E

Ejercicio de Geometría — UNI