Ejercicio de Geometría del espacio

Por el vértice A de un triángulo ABC, se levanta la perpendicular $\overline{AM}$ al plano que contiene al triángulo y luego se trazan las perpendiculares $\overline{AP}$ a $\overline{MB}$ y $\overline{AQ}$ a $\overline{MC}$ . Si QM = 4 u, BP = 8 u y PM = 6 u, entonces la longitud de $\overline{QC}$ (en u) es:

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(Pista: aplica la relación métrica del cateto en los dos triángulos rectángulos que comparten el cateto AM, e iguala las dos expresiones obtenidas para $AM^2$ .)

1. (Planteamos la relación métrica en el triángulo AMB) Como $AP$ es la altura relativa a la hipotenusa $MB$ en el triángulo rectángulo AMB (recto en A), se cumple: $AM^2 = MB \cdot MP = (PM+BP)(PM) = (6+8)(6) = 14 \times 6 \quad \text{...(1)}$

2. (Planteamos la relación métrica en el triángulo AMC) De forma análoga, con $AQ$ como altura relativa a la hipotenusa $MC$ en el triángulo rectángulo AMC: $AM^2 = MC \cdot MQ = (QM+QC)(QM) = (4+x)(4) \quad \text{...(2)}$

3. (Igualamos ambas expresiones, ya que ambas valen $AM^2$ ) $(14)(6) = (4+x)(4)$ $84 = 16 + 4x$ $4x = 68 \;\Rightarrow\; x = 17$

4. (Concluimos) La longitud de $\overline{QC}$ es 17 u, que corresponde a la alternativa C.

Ejercicio de Geometría — UNI