Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: en un hexágono regular todos los lados son iguales; usa el hecho de que el ángulo entre un lado y la tangente en el vértice adyacente (ángulo semiinscrito) es igual a la mitad del arco que abarca, y aplica relaciones de triángulos notables de 30°-60°-90° en los triángulos rectángulos formados por las proyecciones.)

1. Se llama $2a$ al lado del hexágono regular. Por la propiedad del ángulo entre tangente y cuerda, el ángulo que forma el lado $AB$ con la tangente $\mathcal{L}$ en $A$ mide 30°.

2. En el triángulo rectángulo $ABB'$ (rectángulo en $B'$, pues $BB'\perp\mathcal{L}$), con el ángulo de 30° en $A$ y la hipotenusa $AB=2a$, se aplica la relación de triángulo notable de 30°-60°-90°: el cateto opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la hipotenusa. Por lo tanto, $BB' = a$.

3. De manera análoga, para el vértice $F$ (adyacente a $A$ por el otro lado) se forma un ángulo de 30° entre $AF$ y la tangente, y con el mismo razonamiento se obtiene que la proyección de $F$ sobre la tangente dista $a$ de $A$.

4. Para el punto $E$, se traza su proyección $E'$ sobre la tangente. Usando la simetría del hexágono regular y la misma relación de triángulos notables (ahora con el segmento $AE$, que también subtiende un ángulo de 30° con la tangente al ser $E$ el vértice opuesto a $B$ respecto del eje de simetría que pasa por $A$), se determina que $EE' = 3a$.

5. Finalmente: $\frac{BB'}{EE'} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}$

Respuesta: 1/3