Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: usa el teorema de Pitágoras tres veces, relacionando el radio de la esfera $R$ con cada uno de los tres radios de sección (las dos bases de radios $a$ y $b$, y la sección media de radio $r$) y sus respectivas distancias al centro; luego combina esas relaciones con la fórmula conocida del volumen de un segmento esférico, $V=\dfrac{\pi h^3}{6}+\dfrac{\pi h}{2}(a^2+b^2)$.)

1. Sea $R$ el radio de la esfera y $k$ la distancia del centro al plano de la sección media (radio $r$). Aplicando el teorema de Pitágoras en cada sección se obtienen tres relaciones: $R^2=a^2+\left(\frac{h}{2}+k\right)^2 \quad \text{(I)}$ $R^2=b^2+\left(\frac{h}{2}-k\right)^2 \quad \text{(II)}$ $R^2=r^2+k^2 \quad \text{(III)}$

2. Se suman (I) y (II): $2R^2 = a^2+b^2+2\left(\frac{h^2}{4}+k^2\right)$

3. Se reemplaza (III) en el resultado anterior (sustituyendo $R^2=r^2+k^2$): $2(r^2+k^2) = a^2+b^2+2\left(\frac{h^2}{4}+k^2\right)$ $2r^2-\frac{h^2}{2}=a^2+b^2$

4. Se recuerda la fórmula del volumen de un segmento esférico de dos bases en función de los radios de sus bases $a$, $b$ y su altura $h$: $V = \frac{\pi h^3}{6}+\frac{\pi h}{2}(a^2+b^2)$

5. Se reemplaza $a^2+b^2 = 2r^2-\dfrac{h^2}{2}$ obtenido en el paso 3: $V = \frac{\pi h^3}{6}+\frac{\pi h}{2}\left(2r^2-\frac{h^2}{2}\right)$

6. Se simplifica: $V = \frac{\pi h^3}{6}+\pi h r^2-\frac{\pi h^3}{4} = \pi r^2 h - \frac{\pi h^3}{12}$

Respuesta: πr²h − πh³/12