Ejercicio de Ecuaciones e Inecuaciones

En el interior de un condominio, hay un área de entretenimiento que tiene la forma de dos regiones rectangulares adyacentes: la región I es un jardín, con dimensiones (2x − 8) y (x − 2); y la región II está destinada para juegos infantiles, con dimensiones (2x + 3) y (x − 3). Se sabe que el área de la región I más el doble del área de la región II, numéricamente, es un valor mayor que 238, pero menor que 418. Si x ∈ ℤ, determine el perímetro, en metros, de la región destinada para juegos infantiles.

Ver solución paso a paso

💡 Idea clave: al resolver una inecuación cuadrática doble, conviene expandir primero toda la expresión en términos de x, factorizarla en dos inecuaciones separadas y luego intersectar sus soluciones antes de aplicar la restricción de valor entero.

Calculamos las áreas: $A_I = (2x-8)(x-2) \qquad A_{II} = (2x+3)(x-3)$
Planteamos la condición del enunciado: $238 < A_I + 2A_{II} < 418$
Expandimos y simplificamos: $238 < 3x^2 - 9x + 1 < 418$ $119 < 3x^2 - 9x + 1...$ Restando 1 y dividiendo entre 3 en ambos extremos, se llega a la forma equivalente: $119 < 3x^2 - 9x + 1 < 209$ (dividiendo la desigualdad original entre 2, ya que ambos límites 238 y 418 son pares).
Separamos en dos inecuaciones cuadráticas: $x^2 - 3x - 40 > 0 \quad \text{y} \quad x^2 - 3x - 70 < 0$
Resolvemos cada una por factorización (usando la fórmula general o descomposición): la primera tiene raíces −5 y 8, por lo que se cumple para x < −5 o x > 8; la segunda tiene raíces −7 y 10, por lo que se cumple para −7 < x < 10.
Intersectamos ambas soluciones: el rango común es $8 < x < 10$ .
Como x debe ser entero, el único valor posible es x = 9.
Calculamos el perímetro de la región II con x = 9: dimensiones $(2(9)+3) = 21$ y $(9-3) = 6$ : $P_{II} = 2(6) + 2(21) = 12 + 42 = 54$

Respuesta: A) 54

Ejercicio de Álgebra — UNMSM