Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: antes de hallar el rango, verifica el dominio de la composición; luego expresa $(g \circ f)(x)$ explícitamente y analiza el comportamiento del valor absoluto del logaritmo.)

1. Se analiza el dominio de $g \circ f$: se necesita que $x$ pertenezca al dominio de $f$ (es decir $x>0$) y que $f(x) = \ln x$ pertenezca al dominio de $g$ (que es todo $\mathbb{R}$, sin restricción). Por lo tanto, el dominio de la composición es $\langle 0;+\infty\rangle$.

2. Se calcula la regla de correspondencia: $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = g(\ln x) = \frac{1}{e^{|\ln x|}}$

3. Se analiza el comportamiento de $|\ln x|$ para $x \in \langle 0;+\infty\rangle$: como $\ln x$ toma todos los valores reales cuando $x$ recorre $\langle 0;+\infty\rangle$, su valor absoluto $|\ln x|$ toma todos los valores no negativos, es decir $|\ln x| \geq 0$, pudiendo llegar arbitrariamente cerca de 0 (cuando $x=1$, donde $|\ln x|=0$) pero también creciendo sin cota.

4. Como $|\ln x| \geq 0$, se tiene que $e^{|\ln x|} \geq 1$, y por lo tanto: $0 < \frac{1}{e^{|\ln x|}} \leq 1$

5. El valor máximo, 1, sí se alcanza (cuando $x=1$), pero el valor 0 nunca se alcanza (solo se aproxima cuando $x \to 0^+$ o $x \to +\infty$). Por lo tanto, el rango es $\langle 0;1]$.

Respuesta: ⟨0;1]