Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: como BM es mediana, M es punto medio de AC; usa que AB=BM=6 para identificar un triángulo isósceles, y traza una altura auxiliar para formar un triángulo rectángulo notable de 30° y 60°.)

1. (Ubicamos el punto medio) Como $\overline{BM}$ es mediana relativa a $AC$, el punto M es el punto medio de $AC = 12$, por lo que $AM = MC = 6$.

2. (Analizamos el triángulo isósceles ABM) Como $AB = BM = 6$ y también $AM = 6$, el triángulo ABM resulta ser equilátero, por lo que todos sus ángulos internos miden $60°$.

3. (Trazamos una altura auxiliar en el triángulo BMC) Trazamos $\overline{MH}$, la altura desde M hacia BC dentro del triángulo BMC. Como el ángulo $\angle BMA = 60°$ (por ser el triángulo ABM equilátero), el ángulo suplementario $\angle BMC = 120°$, y su adyacente en el triángulo rectángulo MHC (o el que corresponda según la altura trazada) resulta un ángulo de $60°$, generando un triángulo rectángulo notable de $30°$ y $60°$.

4. (Resolvemos el triángulo notable formado) Usando las proporciones del triángulo notable de 30°-60°-90°, con $MC = 6$ como hipotenusa de ese triángulo auxiliar, se obtiene que $BC = 6\sqrt3$.

5. (Concluimos) La longitud de $\overline{BC}$ es $6\sqrt3$ cm, que corresponde a la alternativa C.