Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: como el sistema tiene infinitas soluciones, primero reduce las tres ecuaciones a una sola relación entre $x_2$ y $x_3$; luego, dependiendo de qué variable se tome como parámetro libre, se obtienen distintas parametrizaciones equivalentes del mismo conjunto solución.)

1. Se suman la primera y la segunda ecuación para eliminar $x_1$: $(2x_1+3x_2+10x_3) + (-2x_1+2x_2+12x_3) = 1+2 \;\Rightarrow\; 5x_2+22x_3=3$

2. Se toma $x_3 = t$ como parámetro libre. De la relación anterior: $5x_2 + 22t = 3$, de donde $x_2 = \dfrac{3}{5}-\dfrac{22}{5}t$.

3. Se reemplaza en la primera ecuación original para hallar $x_1$: $2x_1 + 3\left(\frac{3}{5}-\frac{22}{5}t\right) + 10t = 1 \;\Rightarrow\; x_1 = -\frac{2}{5}+\frac{8}{5}t$

4. Esta parametrización, con $x_3=t$, coincide exactamente con la opción III.

5. Se verifica que las opciones I y II usan otras sustituciones para el parámetro ($x_3=-5t$ y $x_3=-5t+1$ respectivamente). Al repetir el procedimiento con esas sustituciones se obtienen expresiones distintas a las propuestas en I y II (por ejemplo, con $x_3=-5t$ se obtiene $x_1=-\frac25-8t$ y $x_2=\frac35+22t$, que no coinciden con lo escrito en la opción I; y con $x_3=-5t+1$ se obtiene $x_1=\frac65-8t$, que tampoco coincide con la opción II).

6. Por lo tanto, de las tres parametrizaciones propuestas, solo la III representa correctamente el conjunto solución del sistema.

Respuesta: Solo III