Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: multiplica ambos lados de la ecuación matricial por $A$ tanto por la izquierda como por la derecha para despejar $X$ directamente, sin necesidad de calcular $A^{-1}$ primero.)

1. Se multiplica la ecuación $A^{-1}XA^{-1}=I$ por $A$ a la izquierda y por $A$ a la derecha: $A \cdot A^{-1} \cdot X \cdot A^{-1} \cdot A = A \cdot I \cdot A$

2. Como $A\cdot A^{-1} = I$, la expresión se reduce a $X = A^2$.

3. Se calcula $A^2$ multiplicando $A$ por sí misma: $A^2 = \begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&8\\0&9\end{bmatrix}$ Por lo tanto, $X = \begin{bmatrix}1&8\\0&9\end{bmatrix}$.

4. Se calcula la inversa de $X$. Para una matriz $2\times2$ triangular superior, la inversa es: $X^{-1} = \frac{1}{9}\begin{bmatrix}9&-8\\0&1\end{bmatrix}$

5. Se calcula $X + 9X^{-1}$: $X + 9X^{-1} = \begin{bmatrix}1&8\\0&9\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}9&-8\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}10&0\\0&10\end{bmatrix}$

6. Se suman todos los elementos de la matriz resultante: $10+0+0+10 = 20$.

Respuesta: 20