Ejercicio de Geometría — UNMSM

(Pista: primero halla la altura del trapecio usando el triángulo rectángulo de 30°-60° formado por el lado inclinado, y luego reconoce que, al girar el trapecio alrededor de $\overline{AB}$, se genera un tronco de cono.)

1. (En el triángulo rectángulo formado por el lado inclinado $\overline{CD}$, el ángulo de 30° y el segmento horizontal de 10 cm, se calcula la altura del trapecio: como el cateto opuesto a 30° mide 10 cm, la altura (cateto adyacente) mide $10\sqrt{3}$ cm.)

2. (Al girar la región trapecial ABCD una vuelta completa (360°) alrededor del lado $\overline{AB}$, se genera un sólido de revolución con forma de tronco de cono, cuyos radios son 10 cm (el radio menor, correspondiente a $\overline{BC}$) y 20 cm (el radio mayor, correspondiente a $\overline{AD}$), y cuya altura es $10\sqrt{3}$ cm.)

3. (Se aplica la fórmula del volumen del tronco de cono: $V = \dfrac{\pi \times h}{3}\left(R^2 + r^2 + R\cdot r\right)$, con $h = 10\sqrt{3}$, $R = 20$ y $r = 10$.)

4. (Reemplazando: $V = \dfrac{\pi \times 10\sqrt{3}}{3}\left(20^2 + 10^2 + 20\times 10\right) = \dfrac{\pi \times 10\sqrt{3}}{3}\left(400 + 100 + 200\right) = \dfrac{\pi \times 10\sqrt{3}}{3}\times 700$.)

5. (Simplificando, se obtiene $V = \dfrac{7000}{3}\sqrt{3}\,\pi$ cm³.)

6. (Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es $\dfrac{7000}{3}\sqrt{3}\,\pi$ cm³.)